Одни языковеды считают деепричастия  особой формой глагола, другие — самостоятельной частью речи.
 
Деепричастие — это особая неизменяемая форма глагола (или самостоятельная часть речи), которая  обозначает добавочное действие, объединяет в себе признаки глагола и  наречия и показывает, каким образом, почему, когда совершается действие, названное глаголом-сказуемым: Волны несутся, гремя и сверкая. Деепричастия гремя и сверкая обозначают дополнительные действия, связанные с действием несутся (сказуемым).
 
Деепричастие отвечает на вопросы что делая? что сделав? Возможны также вопросы как? почему? каким образом? когда? и др.: уехав, дожидаясь, увидев.
 
Деепричастие с зависимыми от него словами называется деепричастным оборотом: Стоя на табуретке, он доставал книги с верхней полки.
 
Основные признаки деепричастия
 
А) Общее грамматическое значение 
Деепричастие обозначает добавочное действие, которое показывает, как совершается действие глагола-сказуемого: Стоя у окна, он внимательно читал поданную ему записку.
 
Б) Морфологические признаки
 
1. Деепричастия образуются от глаголов и сохраняют следующие признаки глаголов:
- вид,
- переходность,
- возвратность.
Ср.: думать о маме (несовершенный вид, непереходный, невозвратный глагол) — думая (несовершенный вид, непереходное, невозвратное деепричастие); задуматься (совершенный вид, непереходный, возвратный глагол) — задумавшись (совершенный вид, непереходное, возвратное деепричастие).
 
2. Деепричастия имеют следующие признаки наречий:
- деепричастия — : читая, прочитав, решив;
- деепричастие зависит от глагола-сказуемого: Передав записку, он отошёл (когда?) в сторону.
В) Синтаксические признаки (роль в предложении)
 
В предложении деепричастие и деепричастный оборот чаще всего выполняют роль обстоятельства, но при этом могут примыкать к разным членам предложения.
- Чаще всего деепричастие примыкает к сказуемому-глаголу: Я неприметно отошел к окну, желая скрыть свое волнение. 
Примечание. Деепричастие, примыкая к сказуемому, может обозначать и  добавочное действие, сопутствующее действию, выраженному сказуемым: Клубятся тучи, млея в блеске алом. В этом случае деепричастие является второстепенным сказуемым.  Деепричастие в первом значении (обстоятельственном) не допускает замены  спрягаемой формой глагола: Они пошли не торопясь и покорно, точно гуси; во втором значении (второстепенного сказуемого) такая замена возможна: Деревья радостно трепещут, купаясь в небе голубом (ср.: Деревья радостно трепещут, купаются в небе голубом).
- Реже деепричастие примыкает к именному сказуемому, выраженному кратким  страдательным причастием, кратким прилагательным или существительным : В полдень, переходя на станции через рельсы, он был оглушен неожиданным свистком паровоза; Проведя этот вечер с невестой, он был особенно весел ; Пушкин, не утрачивая в настоящем и будущем своего значения как поэт великий, тем не менее был и поэтом своего времени, своей эпохи. 
- Деепричастие может относиться не только к сказуемому, но и к  другим членам предложения, например,                                
- к дополнению, выраженному неопределенной формой глагола: Врач разрешил мне пройти к больному, соблюдая тишину; 
   
- определению-причастию: Кучер, спавший опершись на локоть, начал пятить лошадей; 
   
- к обстоятельству-деепричастию: Выпив не поморщившись противное лекарство, он задержал меня ненадолго. 
 
Примечание. Во всех приведенных предложениях действия, обозначенные  деепричастием и глаголом-сказуемым, принадлежат одному и тому же лицу  (или предмету) — субъекту действия. Только при наличии этого условия  употребление деепричастия допустимо в современном литературном языке.  Если деепричастие и сказуемое обозначают  действия разных лиц, употребление деепричастия необычно и не  соответствует современным нормам. См. подробно: 
 
Морфологический разбор деепричастий:
1. Часть речи, общее грамматическое значение и вопрос.
 
2. Начальная форма.
 
3. Постоянные морфологические признаки:
4. Непостоянные морфологические признаки (неизменяемое слово).
 
5. Синтаксическая роль (каким членом предложения является деепричастие в данном предложении).
 
Образец разбора деепричастия
Он ушибся, упав с лошади.
 
Упав
1. Деепричастие, так как обозначает добавочное действие; отвечает на вопросы когда? что сделав?
2. Н. ф. — упав.
 3. Постоянные морфологические признаки:
-  совершенный вид;
- невозвратное.
4. Непостоянные морфологические признаки (неизменяемое слово).
 
5. Образует деепричастный оборот с формой существительного с лошади; в предложении деепричастный оборот — обстоятельство времени.
 
 
Дополнительно:
Источник:
Дополнительно на Геноне: