28986 авторов и 62 редактора ответили на 85253 вопроса,
разместив 135220 ссылок на 43431 сайт, присоединяйтесь!

Как найти объем параллелепипеда, построенного на векторах?

РедактироватьВ избранноеПечать

Коллинеарные векторы

Коллинеарными называются векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной и той же прямой).

 

Коллинеарные векторы могут иметь одно и то же направление (равнонаправленные векторы) или противоположные направления.

 

Два ненулевых вектора равны, если они равнонаправлены и имеют один и тот же модуль. Все нулевые векторы считаются равными.

 

Условие коллинеарности векторов

Если векторы a(x1,y1,z1) и b(x2,y2,z2) коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны:

x2/x1 = y2/y1 = z2/z1 

 

И обратно: если соответствующие координаты векторов пропорциональны, то векторы эти — коллинеарны.

 

Если коэффициент пропорциональности λ = x2/x1 = y2/y1 = z2/z1 положителен, то векторы a и b равнонаправлены, а если отрицателен — то противоположно направлены.

 

Например:

  • векторы АВ(3, 5, 8) и CD(6, 10, 16) коллинеарны;
  • векторы АВ(-12, -8, -22) и CD(6, 4, 11) коллинеарны;
  • векторы АВ(-10, -8, -21) и CD(6, 5, 11) не коллинеарны

Компланарные векторы

Три вектора (или большее их число) называются компланарными, если они, будучи приведены к общему началу, лежат в одной плоскости.

 

Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора также считаются компланарными.

 

Компланарность векторов, доказательство их компланарности

Необходимым и достаточным условием компланарности трёх векторов a, b, c является равенство нулю их смешанного произведения.

 

Например:

  • векторы AB(2, 1, 3), CD(-2, 8, 12), EF(3, 15, 27) компланарны;
  • векторы AB(-4, 2, -6), CD(-1, -4, 6), EF(-2, 10, -18) компланарны.

Смешанное произведение векторов

Смешанным (или векторно-скалярным) произведением трёх векторов a, b, c называется скалярное произведение вектора а на векторное произведение b×c, т.е. число а(b×c), или, что то же, (b×c)а.

 

Для того, чтобы найти смешанное произведение трёх векторов a, b и c, заданных своими координатами a(ax,ay,az), b(bx,by,bz), c(cx,cy,cz), нужно определенным образом составить определитель третьего порядка. В первой строке определителя записываем координаты первого вектора, во второй строке — второго, в третьей — третьего:

 

ax         ay         az

bx         by         bz

cx         cy         cz

 

и вычисляем определитель. Результат вычислений и есть искомое смешанное произведение трёх векторов.

 

Например, смешанное произведение векторов a(-2, 5, -3), b(1, -4, 6), c(1, 5, 9) равно 90.

 

Смешанное произведение abc трех некомпланарных векторов a, b, c равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, взятому со знаком «плюс», если система a, b, c — правая, и со знаком «минус», если эта система левая.

 

Иногда вопрос задают так: «Чему равен объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c?». Как уже известно, равен он смешанному произведению векторов a, b и c. Если результат окажется со знаком «минус», то результат, конечно же, нужно взять по модулю.

 

Например, объём параллелепипеда, построенного на векторах a(-2, 5, -3), b(1, -4, 6), c(1, 5, 9), равен 90 кубических единиц.

 

Объём пирамиды, построенной на векторах

Объём пирамиды, построенной на векторах a, b и c, равен 1/6 объёма параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c.

 

Если известны координаты вершин A, B, C, D пирамиды, то последовательность действий для нахождения её объёма следующая:

  • находим координаты векторов AB, AC и AD;
  • находим 1/6 смешанного произведения векторов AB, AC и AD (результат вычислений берём со знаком «плюс»).

Например, даны вершины пирамиды ABCD:

  • A(5, 0, 14);
  • B(-7, 16, 9);
  • C(14, -5, 17);
  • D(15, 11, -2).

Находим координаты векторов AB, AC и AD:

  • AB = (-7-5, 16-0, 9-14) = (-12, 16, -5);
  • AC = (14-5, -5-0, 17-14) = (9, -5, 3);
  • AD = (15-5, 11-0, -2-14) = (10, 11, -16).

Вычисляем 1/6 смешанного произведения векторов AB, AC и AD.

V = 1/6 · 1475 = 245,83 кубических единиц.

 

Источники:

  • М.Я. Выгодский. Справочник по высшей математике.
  • В.Д. Черненко. Высшая математика в примерах и задачах. В 3 томах. Том 1.

Дополнительно на Геноне:

Последнее редактирование ответа: 21.12.2014

  • Оставить отзыв

    Оставить отзыв

     

РедактироватьВ избранноеПечать

Похожие вопросы

«Как найти объем параллелепипеда, построенного на векторах»

В других поисковых системах:

GoogleЯndexRamblerВикипедия

В соответствии с пользовательским соглашением администрация не несет ответственности за содержание материалов, которые размещают пользователи. Для урегулирования спорных вопросов и претензий Вы можете связаться с администрацией сайта genon.ru. Размещенные на сайте материалы могут содержать информацию, предназначенную для пользователей старше 18 лет, согласно Федерального закона №436-ФЗ от 29.12.2010 года "О защите детей от информации, причиняющей вред их здоровью и развитию". Обращение к пользователям 18+.