28595 авторов и 62 редактора ответили на 85154 вопроса,
разместив 134974 ссылки на 43290 сайтов, присоединяйтесь!

Как найти ранг матрицы?

РедактироватьВ избранноеПечать

Пусть задана любая матрица А с m строк и n столбцов. Рангом системы строк (столбцов) матрицы А называется максимальное число линейно независимых строк(столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно-независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля. Ранг матрицы равен наибольшему числу линейно независимых строк (или столбцов) матрицы.

Обычно ранг матрицы A обозначается rang A (rg A) или rank A. Оба обозначения пришли к нам из иностранных языков, потому и употребляться могут оба. Последний вариант свойственен для английского языка, в то время как первый — для немецкого, французского и ряда других языков.

 

Вычисление ранга матрицы

Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор D k-го порядка матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D, т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

 

Свойства

Теорема (о базисном миноре): Пусть r = rang A M — базисный минор матрицы A, тогда:

  • базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;
  • любая строка (столбец) матрицы A есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).

 

Следствия:

  • Если ранг матрицы равен r, то любые p:p > r строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы.
  • Если A — квадратная матрица, и det A = 0 <=> строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.
  • Пусть r = rang A, тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно r.
  • Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение A\sim Bэлементарными преобразованиями. Тогда справедливо утверждение: Если A\sim B, то их ранги равны для матриц, полученных друг из друга

Теорема Кронекера — Капелли: система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:

  • Количество главных переменных системы равно рангу системы.
  • Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

Источники:

Википедия

mathelp.spb.ru

 

Полезные ссылки:

elib.ispu.ru  Ранг матрицы

bankzadach.ru  Пример нахождения ранга матрицы

math-pr.com  Онлайн вычисление ранга матрицы

Последнее редактирование ответа: 06.11.2009

  • Оставить отзыв

    Оставить отзыв

     

РедактироватьВ избранноеПечать

«Как найти ранг матрицы»

В других поисковых системах:

GoogleЯndexRamblerВикипедия

В соответствии с пользовательским соглашением администрация не несет ответственности за содержание материалов, которые размещают пользователи. Для урегулирования спорных вопросов и претензий Вы можете связаться с администрацией сайта genon.ru. Размещенные на сайте материалы могут содержать информацию, предназначенную для пользователей старше 18 лет, согласно Федерального закона №436-ФЗ от 29.12.2010 года "О защите детей от информации, причиняющей вред их здоровью и развитию". Обращение к пользователям 18+.