28984 автора и 62 редактора ответили на 85252 вопроса,
разместив 135219 ссылок на 43431 сайт, присоединяйтесь!

Что такое теорема Пифагора?

РедактироватьВ избранноеПечать

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Считается, что доказана греческим математиком Пифагором, в честь которого и названа.

Формулировка теоремы: Во всяком прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b, получаем следующее равенство:

a2 + b2 = c2

Таким образом, теорема Пифагора устанавливает соотношение, позволяющее определить сторону прямоугольного треугольника по двум другим.

Также верно обратное утверждение (называемое обратной теоремой Пифагора):
Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой что a2 + b2 = c2, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

 

Видеоурок с доказательством теоремы Пифагора.


Доказательство

 

Известно более ста доказательств теоремы Пифагора. Ниже приведено доказательство основанное на теореме существования площади фигуры:

1. Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на этом рисунке.
2. Четырехугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов равна 90°, а развернутый угол — 180°.
3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a + b), а с другой стороны сумме площадей четырех прямоугольных треугольников и внутреннего квадрата.

(a + b)2 = 4·(ab/2) + c2 (с учетом формулы для площади прямоугольного треугольника)
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
c2 = a2 + b2

Что и требовалось доказать.

 

Обобщения 

 

Для произвольных треугольников верна теорема косинусов, являющаяся обощением теоремы Пифагора:

 

a2 = b2 + c2 − 2 b c cos α, 

 

где α — угол между сторонами b и c.

 

В прямоугольной (декартовой) системе координат на плоскости теорема Пифагора позволяет вычислить квадрат расстояния R между двумя точками a и b с известными координатами (x1, y1) и (x2, y2):

 

R2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.

 

Эта формула допускает обобщение на трехмерное пространство:

 

R2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2,

 

а также на n-мерное пространство:

 

R2 = ∑i=1,...,n(ai − bi)2,

 

в котором точки a и b имеют соответственно координаты (a1, ..., an) и (b1, ..., bn).


Источник: Википедия

Ссылки:

Дополнительно от Генона: 

Последнее редактирование ответа: 01.06.2012

  • Оставить отзыв

    Оставить отзыв

     

РедактироватьВ избранноеПечать

«Что такое теорема Пифагора»

В других поисковых системах:

GoogleЯndexRamblerВикипедия

В соответствии с пользовательским соглашением администрация не несет ответственности за содержание материалов, которые размещают пользователи. Для урегулирования спорных вопросов и претензий Вы можете связаться с администрацией сайта genon.ru. Размещенные на сайте материалы могут содержать информацию, предназначенную для пользователей старше 18 лет, согласно Федерального закона №436-ФЗ от 29.12.2010 года "О защите детей от информации, причиняющей вред их здоровью и развитию". Обращение к пользователям 18+.