" В дни моей юности я в свободное время развлекался тем, что составлял магические квадраты " - писал Бенджамин Франклин.
МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ, квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу. Это из
дает более сложное определение, но суть одинакова. " Магический квадрат — квадрат, разделённый на равное число n столбцов и строк, со вписанными в полученные клетки первыми n2 натуральными числами, которые дают в сумме по каждому столбцу, каждой строке и двум большим диагоналям одно и то же число [равное, как легко доказать, 1/2 n( n2+1) ]. Доказано, что М. к. можно построить для любого n, начиная с n = 3 "
дает похожее определение, тоже с применением формулы. " Магический, или волшебный квадрат — это квадратная таблица n x n , заполненная n2 числами, таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях оказывается одинаковой. Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n2.
Магические квадраты существуют для всех порядков n > 1 , за исключением n = 2, случай n = 1 тривиален — квадрат состоит из одного числа. Минимальный нетривиальный случай имеет порядок n = 3. Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях, называется магической константой. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой M(n) = 1/2 n( n2+1)"
Магический квадрат — древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы , и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату, изображенному на В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 в. магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э.Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера , изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия 1. Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки.
Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7-ми планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.
В 19 - 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры и операционного исчисления.
Каждый элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n2 клеток и называется квадратом n - го порядка. В большинстве магических квадратов используются первые n последовательных натуральных чисел. Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n(n2 + 1)/2.
Для квадрата 3-го порядка S = 15, 4-го порядка — S = 34, 5-го порядка — S = 65, 6-го порядка — S = 111, 7-го порядка — S = 175, 8-го порядка — S = 260, 9-го порядка — S = 369 и т.д.
Две диагонали, проходящие через центр квадрата, называются главными диагоналями. Ломаной называется диагональ, которая, дойдя до края квадрата, продолжается параллельно первому отрезку от противоположного края (такую диагональ образуют заштрихованные клетки на). Клетки, симметричные относительно центра квадрата, называются кососимметричными. Таковы, например, клетки a и b на.
Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен (или не определен), хотя широко применяются различные схемы, некоторые из которых будут рассмотрены ниже.
Магические квадраты нечетного порядка можно построить с помощью метода французского геометра 17 в. А.де ла Лубера. Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5-го порядка. Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата (как в случае числа 1), продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца. Дойдя до правого края квадрата (число 3), продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки (число 5) или угла (число 15), траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается.
Метод Ф.де ла Ира (1640-1718) основан на двух первоначальных квадратах. На показано, как с помощью этого метода строится квадрат 5-го порядка. В клетку первого квадрата вписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в клетках главной диагонали, идущей вправо вверх, и ни одно число не встречается дважды в одной строке или в одном столбце. То же самое мы проделываем с числами 0, 5, 10, 15, 20 с той лишь разницей, что число 10 теперь повторяется в клетках главной диагонали, идущей сверху вниз . Поклеточная сумма этих двух квадратов образует магический квадрат. Этот метод используется и при построении квадратов четного порядка.
Если известен способ построения квадратов порядка m и порядка n, то можно построить квадрат порядка mЄn. Суть этого способа показана на рис. 6. Здесь m = 3 и n = 3. Более крупный квадрат 3-го порядка (с числами, помеченными штрихами) строится методом де ла Лубера. В клетку с числом 1?(центральную клетку верхнего ряда) вписывается квадрат 3-го порядка из чисел от 1 до 9, также построенный методом де ла Лубера. В клетку с числом 2? (правую в нижней строке) вписывается квадрат 3-го порядка с числами от 10 до 18; в клетку с числом 3? — квадрат из чисел от 19 до 27 и т.д. В результате мы получим квадрат 9-го порядка. Такие квадраты называются составными.
Известно, что шахматы, как и магические квадраты, появились десятки веков назад в Индии. Поэтому неслучайно возникла идея шахматного подхода к построению магических квадратов. Впервые эту мысль высказал Эйлер. Он попытался получить полный магический квадрат непрерывным обходом коня. Однако, это сделать ему не удалось, поскольку в главных диагоналях суммы чисел отличались от магической константы. Тем не менее шахматная разбивка позволяет создавать любой магический квадрат. Цифры заполняются регулярно и построчно с учётом цвета ячеек. Познакомиться с шахматным подходом построения Магического кавадрата можно здесь -.
Результатом разносторонних исследований магического квадрата стало создание Книги перемен, в которой изложены основные принципы китайской философии, астрологии, нумерологии. Прошло несколько сотен лет, и в результате развития этих наук сложилась идеология, которая привела к возникновению собственно учения фэн-шуй, ставшего частью единой философской системы, образа жизни миллионов людей в Китае.
Полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени.
С использованием свойств магического квадрата создаются различные головоломки, например судоку ( что такое
судоку можно узнать по ссылкам указанным ниже). Или еще виртуальные игры , например здесь , или здесь:
Источники:
Дополнительно от Генон:
- - Что такое судоку и где найти программы для создания и решения судоку.