Чему равны вторые и четвертые производные синуса и косинуса?

Производная синуса равна косинусу:

sin(x)' = cos(x) = sin (x+π/4).

Производная косинуса равна синусу, взятому с обратным знаком:

cos(x)' = –sin(x) = cos(x+π/4). 

Для запоминания этого факта есть мнемонический прием:

• синий косяк (производная синуса равна косинусу)
• косяк — синий (производная косинуса равна минус (тире) синусу)

Иначе говоря, взятие производной синуса и косинуса эквивалентно сдвигу функции на четверть периода. Отсюда сдедует, что вторые производные синуса и косинуса равны самим этим функциям, взятым с обратным знаком:

sin(x)'' = –sin(x).

cos(x)'' = –cos(x). 

А четвертые производные синуса и косинуса совпадают с исходной функцией:

sin(x)'''' = sin(x).

cos(x)'''' = cos(x). 

См. также на Геноне:

• Что такое производная функции?
• Что такое синус? 
• Что такое косинус?