Что такое бином Ньютона?

Бином Ньютона — название формулы, выражающей любую целую положительную степень суммы двух слагаемых (бинома, двучлена) через степени этих слагаемых, а именно:

(a+b)ⁿ= aⁿ+ (n⁄1)·a^n-1 · b + (n(n-1)⁄1·2)·a^n-2 · b² +...+ (n(n-1)...(n+k+1))⁄(1·2 ... k)·a^n-k · b^k +...+bⁿ,

где n — целое положительное число, а и b — какие угодно числа.

Частными случаями бинома Ньютона при n = 2 и n = 3 являются известные формулы для квадрата и куба суммы а и b: (а + b)² = а² + 2ab + b², (а + b)³ = а³ + 3a²b + 3ab² + b³; при n = 4 получают (а + b)⁴ = a⁴+ 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ и т.д.

Свойства бинома Ньютона:

• Разложение бинома (a + b)ⁿ представляет собой многочлен, расположенный по убывающим степеням a (от n-й до нулевой) и по возрастающим степеням b (от нулевой до n-й); сумма показателей a и b в каждом члене разложения равна показателю степени бинома. Число членов разложения на единицу больше показателя степени бинома.
• Коэффициенты членов разложения («биноминальные коэффициенты») возрастают до середины разложения и затем убывают; коэффициенты каждой пары членов, равноотстоящих от начала и конца разложения, равны между собой. Если n четное, то имеется один средний наибольший коэффициент; если n нечетное, то имеется два средних наибольших коэффициента.
• При возведении в n-ю степень разности a — b все четные члены разложения имеют знак "минус".

 Источники информации:

• slovari.yandex.ru — бином Ньютона;
• edu.glavsprav.ru — бином Ньютона.